小波变换算法在脉冲激光测距中的应用
小波变换算法在脉冲激光测距中的应用
作者:黄钊;顾国华;何伟基;徐伟
众所周知,小波变换已经成功地应用于许多研究领域,如时频分析,子带编码,多速率信号处理,视觉,计算机图形和降噪等。在时频分析领域,相对于传统方法,小波变换在时域或频域上都具有良好的局部特性,由于对高频信号采取逐步精细的时域或频域步长,从而可以聚焦到分析对象的任意细节,被誉为“信号的显微镜”,因此在分析奇异信号和突变信号时具备突出的优势。脉冲激光测距技术有着很好的应用前景,这项技术的一个难点是确定回波的到达时刻。确定回波到达时刻的方法有很多,文献[3]列举了常用的几种方法,并对其确定回波到达时刻的效果进行了仿真,通过比较得知,小波变换方法的误差分布范围最小、最有效。所以,基于小波变换能准确检测信号奇异点的特性,可以将小波变换算法应用于脉冲激光测距仪中,计算出回波信号的奇异点,就可以确定回波的到达时刻,从而精确测量目标的距离。
2.算法理论基础
小波具有窗函数的作用,可以用小波 ψ( t) 研究以 t = b 为中心半径与 a 有关的领域内信号 f( t) 的局部情况。当 f( t) 在 t = b1 附近波形平缓时,可以增大尺度 a,用伸展了的小波 ψa,1 ( t) 去观察 f( t) 。若 f( t) 在 t = b2 附近波形变化激烈,减小 a,用压缩的小波 ψa,2 ( t) 去观察 f( t) 。随着 b 的变化,小波沿时间轴移动,随 f( t) 波形变化,改变尺度 a,就像用“显微镜”一样通过调焦来观察 f( t) 的局部信息。
在实际应用中,尤其是在数字化后,连续小波必须加以离散化,即对连续的尺度参数 a 和平移参数b 离散化。通常取 a0 = 2,b0 = 1,则尺度参数为 2j,平移参数为 k2j,由此得到的小波称为二进小波。
2. 2 小波变换对信号奇异性的检测能力
在数学上,函数局部的奇异性通常由 Lipschitz指数来衡量。信号的小波变换在奇异点处会产生模极大值,但是噪声经过小波变换也同样会产生许多模极大值,因为其本身也是处处奇异的。由表 1 可知,噪声的 Lipschitz 指数 a 为负数,而信号的 Lipschitz 指数a 范围为[0,1]。另外,由上式可知,信号经小波变换后产生的模极大值随着尺度 j 的增大而增大或者不变,而噪声产生的模极大值随着尺度 j 的增大而减小。因此,在低尺度上,模极大值点主要被噪声控制,在较高尺度上,模极大值点主要被信号控制,据此可以在较高尺度上通过求小波变换的模极大值点
把信号的奇异点找出来。
2. 3 多分辨分析与 Mallat 算法
多分辨分析( multi resolution analysis,MRA) ,是Mallat 和 Meyer 提出的,它的主要思想是将 L2 ( R) 按分辨率为{ 2 - j } 分解为一串嵌套子空间序列{Vj },再通过正交补的塔式分解,将 L2 ( R) 分解成一串正交小波子空间序列{Wj }。然后将 L2 ( R) 中的函数 f( t)表示成一系列近似函数的逼近,其中每一近似函数都是 f 在不同分辨率子空间上的投影,通过这些投影来研究和分析 f 在不同子空间上的性态及特征。基于多分辨分析的思想,Mallat 提出了一种快速小波变换的算法,后称 Mallat 算法。由于此算法的推导过程过于复杂,在此不再赘述。该算法主要思想如下。
2. 4 Mallat 算法的改进与小波基的选取
在检测信号奇异点时,我们需要对 Mallat 算法作一定的改进。首先,模极大值法只要求作小波变换分解得到细节信号,所以可以省去重构算法部分,大大减少了运算量,加快算法处理速度。其次,由于内积型小波变换存在隔二抽一问题,所以必须采用所谓基于卷积型定义的小波变换,这种小波变换的突出特点是不管分解多少尺度,各尺度信号的长度将始终保持与原始信号一致,因而其细节信号中的峰值就能正确指示奇异点在原始信号中的位置。
然而,算法还有一个关键问题没有解决,那便是小波基的选取。小波基种类繁多,而不同的小波基对信号奇异点的检测效果是有明显区别的。例如,常用的 Daubechies 小波不适合用来检测奇异点,因为此类小波具有多阶消失矩,在检测奇异点时将会产生多个峰值,因而不能精确定位奇异点。所以为了精确定位奇异点,必须采用只具有 1 阶消失矩的小波。对不同小波基的奇异性检测效果进行了详细的研究,指出在具有 1 阶消失矩的小波中,二次样条小波对奇异点的检测效果最好,其特点是指示奇异点位置的脉冲峰既高又窄,而且其计算的突变点 Lipschitz 指数最为接近理论值,因此本文选用此小波来检测信号的奇异点。
3 算法的实现
本算法通过改进后的 Mallat 快速分解算法得到各层小波系数,并从最后一层的小波系数中求出最大值,即小波变换模极大值,最大值点对应的就是信号的奇异点。
3. 1 算法的输入输出
输入: 采样信号 f[n],n = 0,1,…,L - 1 ( L =2i ) ,分解低通滤波器 H[n],分解高通滤波器 G[n]低通滤波器长度为 lH,高通滤波器长度为 lG。
3.2边界延拓
在本算法的实现过程中,当信号的长度有限时,在边界点上不可避免地会产生误差。为保证对原信号的分解是精确实现的,常采取一种边界延拓的方法。所谓边界延拓,就是增加信号的长度,将边界延拓到原信号之外[10]。常用的边界延拓方法有常数延拓、对称延拓、周期延拓等。本算法采用的是最简单的常数延拓。
4 算法在脉冲激光测距中的应用
由于信号中不规则的突变部分往往带有十分重要的信息,它是信号的重要特征之一,所以我们可以选择回波波形上的孤立奇异点所在的时刻作为接收时刻 t2。而且理论和仿真结果都表明,在足够小的尺度下,小波变换的模极大值点的位置是与信号孤立奇异点的位置相一致的[3]。小波变换模极大值算法就是建立在小波变换对信号奇异性的检测能力之上,通过对回波信号作二进离散小波变换,获取小波变换的模极大值点的位置来获取 t2 时刻值,再将t1 和 t2 代入上式中,从而计算出目标距离。
实验对 22 m 处的目标进行脉冲激光测距,得到的回波采样信号如图 3( a) 所示,经过小波变换模极大值算法处理后第一到三层的细节信号分别如图 3 ( b) ~ 图 3( d) 所示。其中,第一层小波变换模极大值点是第 91 个采样点,第二层是第 93 个,第三层是第 96 个。而实验中使用的采样频率为 625 Mbps,即两个采样点之间的时间间隔为 1. 6 s,且第 0 个采样点对应脉冲发射时刻,则由公式( 9) 可计算得到第一到三层小波变换模极大值点对应距离分别为21. 84 m,22. 32 m,23. 04 m,与目标实际距离误差分别为 0. 16 m,0. 32 m,1. 04 m。所以,该算法选用一层小波变换,用于脉冲激光测距中精度可达到0. 2 m。
分析可知,小波变换算法很好地滤除了有效回波信号前的干扰信号,并准确地找到了信号奇异点,则可以准确测出目标实际距离,证明该算法可以很好地应用于脉冲激光测距中。当然,算法精度还受到了实验采用的采样频率的影响,如果提高采样频率,该算法还可以提高精度。
5 结 论
小波变换算法是基于多分辨分析的思想及对Mallat 算法的改进,选取二次样条小波为小波基,能很好地检测出信号的奇异点,可应用于脉冲激光测距技术中。实验表明,该算法能滤除干扰信号,准确找到回波脉冲信号的奇异点,使测距误差控制在0. 2 m 以内,大大提高了脉冲激光测距的精度,有很好的应用前景。
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